A “metade do dobro”
Um produto de R$ 300 sobe para R$ 600 semanas antes da promoção e depois aparece com “50% OFF”. Subiu 100%, caiu 50% e voltou a R$ 300. Com 25% de alta e 20% de desconto acontece o mesmo: R$ 400 vira R$ 500 e volta a R$ 400.
Guia · altas e quedas
Subiu 20% e caiu 20%: por que você não volta ao mesmo valor
Porque os 20% da queda são calculados sobre um valor maior que os 20% da alta. R$ 100 sobe 20% e vira R$ 120; caindo 20%, perde R$ 24 e para em R$ 96, 4% abaixo de onde começou. Veja a regra por trás disso e quanto é preciso subir de fato para recuperar uma queda.
A conta aberta, com o tomate da feira
O quilo do tomate custava R$ 7,50. Numa semana de chuva, subiu 20%. Na outra, o feirante baixou 20%. Parece que tudo voltou ao normal, mas não voltou.
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A alta de 20% sobre R$ 7,50
20% de R$ 7,50 são R$ 1,50. O quilo vai para R$ 9,00.
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A queda de 20% sobre R$ 9,00
Agora a base é R$ 9,00, não R$ 7,50. 20% de R$ 9,00 são R$ 1,80. O quilo cai para R$ 7,20.
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Compare com o ponto de partida
De R$ 7,50 para R$ 7,20 a diferença é de R$ 0,30 a menos. R$ 0,30 ÷ R$ 7,50 = 0,04.
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Resultado: R$ 7,20, ou 4% abaixo do preço original
A alta somou R$ 1,50 e a queda tirou R$ 1,80. As porcentagens são iguais, os reais não, porque cada uma foi calculada sobre uma base diferente.
Para conferir a variação entre o primeiro e o último valor de qualquer sequência, coloque os dois na calculadora de variação percentual: de 7,50 para 7,20 ela mostra −4%.
A regra: o que se perde é a porcentagem ao quadrado
Subir 20% é multiplicar por 1,2. Cair 20% é multiplicar por 0,8. As duas coisas juntas: 1,2 × 0,8 = 0,96. Você fica com 96% do valor, seja ele R$ 7,50 ou R$ 7.500. E a ordem não muda nada: cair 20% primeiro e subir 20% depois também dá 0,8 × 1,2 = 0,96.
Sobe e desce na mesma porcentagem
F = V × (1 − p²)
Com os números do exemplo
F = 100 × (1 − 0,20²) = 100 × 0,96 = 96
F valor finalV valor inicialp porcentagem, em decimal
Com p = 0,20, a perda é 0,20 × 0,20 = 0,04, ou seja, 4% do valor inicial. Com p = 0,10, é 1%.
Isso explica por que oscilações pequenas quase não deixam marca e oscilações grandes machucam. Veja com R$ 100 de ponto de partida:
| Sobe e depois cai | Depois da alta | Depois da queda | Perda sobre o início |
|---|---|---|---|
| 5% | R$ 105,00 | R$ 99,75 | 0,25% |
| 10% | R$ 110,00 | R$ 99,00 | 1% |
| 20% | R$ 120,00 | R$ 96,00 | 4% |
| 25% | R$ 125,00 | R$ 93,75 | 6,25% |
| 30% | R$ 130,00 | R$ 91,00 | 9% |
| 50% | R$ 150,00 | R$ 75,00 | 25% |
| 80% | R$ 180,00 | R$ 36,00 | 64% |
| 100% | R$ 200,00 | R$ 0,00 | 100% |
A última linha é a mais curiosa: dobrar e depois cair 100% zera tudo, porque uma queda de 100% leva qualquer valor a zero, por maior que ele seja.
Quanto precisa subir para recuperar uma queda
A pergunta que mais importa na prática é a inversa: caiu tanto, quanto precisa subir para voltar? Pense numa lanchonete que vendia 800 lanches por semana e, nas férias escolares, caiu 25%, para 600. Crescer 25% sobre 600 dá só 750. Para voltar aos 800, ela precisa recuperar 200 lanches sobre uma base de 600, ou seja, 200 ÷ 600 = 33,33%.
Para desfazer uma variação
Após quedasobe = q1 − q
Após altacai = s1 + s
Com os números do exemplo
Queda de 25%sobe = 0,251 − 0,25 = 33,33%
Alta de 25%cai = 0,251 + 0,25 = 20%
q queda que aconteceus alta que aconteceu
Depois de uma queda, a volta sempre exige uma porcentagem maior. Depois de uma alta, a volta exige uma porcentagem menor.
| Variação que aconteceu | Se foi queda, precisa subir | Se foi alta, precisa cair |
|---|---|---|
| 10% | 11,11% | 9,09% |
| 20% | 25% | 16,67% |
| 25% | 33,33% | 20% |
| 30% | 42,86% | 23,08% |
| 40% | 66,67% | 28,57% |
| 50% | 100% | 33,33% |
| 75% | 300% | 42,86% |
| 90% | 900% | 47,37% |
Duas leituras úteis. Primeira: a coluna das quedas dispara. Perder metade exige dobrar, e perder 90% exige multiplicar por dez. Segunda: a coluna das altas cresce devagar. Desfazer uma alta de até 100% nunca exige uma queda maior que 50%. Para fazer essas contas com outros números, as calculadoras de aumento percentual e de redução percentual aplicam a porcentagem sobre a base certa.
Onde isso engana no dia a dia
Vendas que “se recuperaram”
Uma loja fatura R$ 40.000, cai 20% no mês seguinte (R$ 32.000) e cresce 20% no outro (R$ 38.400). O relatório diz “recuperou os 20%”, mas o caixa está R$ 1.600 abaixo, 4% a menos.
Seguidores de uma página
Uma página com 10.000 seguidores perde 30% (fica com 7.000) e depois cresce 30% (chega a 9.100). Ainda faltam 900 seguidores para voltar ao começo.
A média que mente
Um valor sobe 50% num período e cai 50% no seguinte. A média das porcentagens dá zero, mas R$ 1.000 vira R$ 1.500 e depois R$ 750: uma perda de 25%.
O caso da “metade do dobro” é a ponta oposta do que o guia por que 50% + 20% de desconto não dá 70% explica: lá, dois descontos seguidos valem menos do que a soma; aqui, uma alta seguida de um desconto pode simplesmente se anular.
Como perceber o erro antes de cair nele
- Sempre volte ao valor inicial em reais. No fim de uma sequência de altas e quedas, compare o último valor com o primeiro. É essa a variação que importa, não a soma das porcentagens do caminho.
- Troque porcentagem por multiplicador. +20% é × 1,2; −20% é × 0,8; −15% é × 0,85. Multiplique tudo e veja se o resultado fica acima ou abaixo de 1.
- Desconfie de “voltou ao normal” com porcentagens iguais. Se a alta e a queda têm a mesma porcentagem, o valor final é sempre menor que o inicial. Só volta igual se o valor em reais da alta e da queda for o mesmo.
- Para quem vende: reajustar um produto de R$ 50 em 10% e depois dar 10% de desconto não leva o preço de volta a R$ 50. R$ 55,00 com 10% de desconto ficam R$ 49,50, 1% abaixo do preço antigo. Para voltar exatamente aos R$ 50, o desconto teria de ser de 9,09%.
Este guia é educativo e trata só da matemática das variações. Para decisões sobre o preço da sua loja ou a leitura de um relatório de vendas, confirme os números com quem cuida da contabilidade do negócio.
Perguntas frequentes
Se cair 20% primeiro e subir 20% depois, o resultado muda?
Não. R$ 100 cai para R$ 80 e sobe para R$ 96, o mesmo resultado de subir primeiro e cair depois. Na multiplicação a ordem não importa: 0,8 × 1,2 e 1,2 × 0,8 dão 0,96.
Quanto preciso aumentar um preço para desfazer um desconto de 15%?
Cerca de 17,65%. Um produto de R$ 100 com 15% de desconto fica em R$ 85; para voltar a R$ 100, faltam R$ 15 sobre uma base de R$ 85, e 15 ÷ 85 = 0,1765.
Subir 10% duas vezes é o mesmo que subir 20%?
Não, dá um pouco mais: 21%. A segunda alta incide sobre um valor que já tinha subido. R$ 100 vai para R$ 110 e depois para R$ 121, porque 1,1 × 1,1 = 1,21.
Existe algum caso em que sobe X% e cai X% e volta igual?
Só se X for zero. Com qualquer porcentagem diferente de zero, a queda incide sobre uma base maior que a da alta e tira mais reais do que a alta colocou. O que volta igual é subir e descer o mesmo valor em reais, como R$ 20 para cima e R$ 20 para baixo.
No exemplo do tomate, a queda foi de 4% ou de 20%?
As duas coisas, dependendo da base. Em relação ao pico de R$ 9,00, o preço caiu 20%. Em relação ao preço original de R$ 7,50, o resultado final ficou 4% abaixo. Por isso, ao ler uma variação, vale sempre perguntar: em relação a quê?